１つ目は、「下落する、落ち込む、衰える、低下する」といった下に下降するイメージの意味です。

たとえば、

Her reputation is declining.

となれば、「彼女の評判は落ちてきている」という意味になります。

２つ目は、「（穏やかに、丁寧に）断る、辞退する」という意味です。「reject（拒絶する、拒否する）」よりも、もっと穏やかな丁寧な断りです。

では、今回のフレーズの日本語訳です。

グーグルは始めておおっきく検索シェアを落とすでしょう。

「significantly」は「大いに、かなり、重大な」という意味の形容詞です。

この記事は検索エンジンについての本を書いているジョン・バッテルさんの2009年にインターネット業界の予測を書いたものです。

日本ではヤフーが検索エンジンではシェア１位ですが、世界ではグーグルです。今まで右肩上がりだったグーグルも、２００９年は検索シェアを落とすだろうと予測しています。

この予測は当たるのでしょうか？

ちなみに、「予測」は「prediction」です。